где — произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарного заряда, для атома водорода), — постоянная тонкой структуры и — энергия частицы. Решение данного уравнения (т. е. сами кулоновские функции) можно найти, решая уравнение в параболических координатах
В зависимости от граничных условий решение принимает различный вид. В частности, решениями уравнения являются функции[2][3]
соответствующие ориентированным вдоль вектора плосковолновым асимптотическим состояниям, которые отвечают соответственно моментам до и после приближения частицы к источнику поля в начале координат. Функции связаны между собой соотношением
Волновую функцию можно разложить по парциальным волнам, при этом мы получим не зависящие от угла радиальные функции . Здесь и далее .
Каждый конкретный член разложения можно получить, найдя скалярное произведение волновой функции со сферической функцией, т. е.
Уравнение для парциальной волны можно получить, записав гамильтониан в уравнении для кулоновских функций в сферических координатах и проецируя уравнение на сферическую функцию
Решения данного уравнения называются кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Если положить , то уравнение для кулоновских функций превратится в уравнение Уиттекера[англ.], поэтому кулоновские функции могут быть записаны в терминах функций Уиттекера с мнимыми аргументами и . Последнюю функцию можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции[англ.] и . Для определим функции[4]
где
называется кулоновской фазой рассеяния. Также можно определить действительные функции
В частности,
Асимптотическое поведение кулоновских функций , и при больших
где
Решения соответствуют расходящейся и сходящейся сферическим волнам. Решения and являются действительными и называются регулярной и нерегулярной кулоновскими функциями.
Справедливо следующее разложение волновой функции по парциальным волнам[5]
Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The Internal Conversion of γ -Rays with the Production of Electrons and Positrons", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 148 (865): 708—728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098/rspa.1935.0043, ISSN0080-4630, JSTOR96298
↑Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, p. 569
↑Messiah, Albert (1961), Quantum mechanics, North Holland Publ. Co., p. 485
↑Gaspard, David (2018), "Connection formulas between Coulomb wave functions", J. Math. Phys., 59 (11): 112104, arXiv:1804.10976, doi:10.1063/1.5054368
↑Messiah, Albert (1961), Quantum mechanics, North Holland Publ. Co., p. 426
↑Formánek, Jiří (2004), Introduction to quantum theory I (чешск.) (2nd ed.), Prague: Academia, pp. 128—130
↑Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, p. 121
↑Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, pp. 668—669
На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии.